Ken je dat gevoel dat jouw vrienden over het algemeen meer vrienden hebben dan jij? Dat is waarschijnlijk ook zo! Sterker nog, het is wiskundig aangetoond dat jouw vrienden over het algemeen meer vrienden hebben dan jij. De gemiddelde Facebook gebruiker heeft dan ook minder Facebookvrienden dan dat zijn gemiddelde Facebookvriend heeft. Dit klinkt erg onlogisch, vandaar dat dit fenomeen “de vriendschap paradox” heet. 
In 1991 ontdekte Scott Feld dat het concept “de vriendschap paradox” bestond, na het uitvoerig bestuderen van sociale netwerken. Hoe onlogisch de paradox ook klinkt, de  wiskunde redenatie achter het fenomeen is erg logisch. Om te laten zien dat “de vriendschap paradox” daadwerkelijk bestaat analyseren we een willekeurig eenvoudig sociaal netwerk dat bestaat uit vier personen; Anneke, Bob, Charlotte en Daan (A,B,C,D). 
Stel Anneke en Bob zijn vrienden, Bob is vrienden met iedereen, Charlotte is vrienden met Bob en Daan, en Daan is vrienden met Bob en Charlotte. Een schematische weergave van dit sociale netwerk is hieronder weergegeven:

Laten we nu simpelweg het aantal vrienden tellen dat ieder persoon afzonderlijk heeft.
Anneke heeft 1 vriend (Bob).
Bob heeft 3 vrienden (Anneke, Charlotte, Daan).
Charlotte heeft 2 vrienden (Bob, Daan).
Daan heeft 2 vrienden (Bob, Charlotte).
 
Laten we ook het aantal vrienden tellen van de vrienden van ieder afzonderlijk persoon.
 
Anneke’s vriend Bob heeft 3 vrienden. In totaal hebben Anneke’s vriend(en) dus 3 vrienden.
Bob’s vriend Anneke heeft 1 vriend, Charlotte 2 en Daan 2. In totaal hebben Bob’s vrienden dus 5 vrienden.
Charlotte’s vriend Bob heeft 3 vrienden en Daan 2. In totaal hebben Charlotte’s vrienden dus 5 vrienden.
Daan’s vriend Bob heeft 3 vrienden en Charlotte 2. In totaal hebben Daan’s vrienden dus 5 vrienden.
De tabel hieronder geeft een overzicht van de relevante getallen.

Het gemiddelde aantal vrienden van vrienden is simpelweg de colom “Vrienden van vrienden” gedeeld door de colom “Vrienden”. Uit dit overzicht is af te leiden dat alleen Bob meer vrienden heeft (3) dan het gemiddelde aantal vrienden van zijn vrienden (1.67). De drie andere personen hebben minder vrienden dan het gemiddeld aantal vrienden van hun vrienden.
Laten we de tabel nog wat verder aanvullen. Het totaal aantal vrienden is 8. Vandaar dat het gemiddeld aantal vrienden 8/4 = 2 is. Het totaal aantal vrienden van vrienden is 18. Het gemiddeld aantal vrienden van vrienden is 18/8 = 2.25. Oftewel, gemiddeld heeft ieder persoon minder vrienden dan dat zijn vrienden gemiddeld hebben!

We hebben ondervonden dat “de vriendschaps paradox” inderdaad klopt voor dit specifieke voorbeeld. Hieronder zal er gekeken worden naar het wiskundig bewijs van de paradox.

Het Wiskundig Bewijs

De algemene formule voor het berekenen van het gemiddeld aantal vrienden is als volgt:

Hierbij is xi het aantal vrienden van persoon i en n het totaal aantal mensen in het sociale netwerk.
De algemene formule voor het berekenen van het gemiddeld aantal vrienden van vrienden is als volgt:

De noemer in de breuk was in het voorbeeld gelijk aan 8. De teller in de breuk was gelijk aan 18. De teller is echter wel op een andere manier berekend dan in het voorbeeld. Het tellen van het aantal vrienden van vrienden per persoon kost namelijk erg veel onnodig werk. We zijn immers alleen geïnteresseerd in het totaal aantal vrienden van vrienden. Vanwege het feit dat iedere vriend van persoon i (wat gelijk is aan xi bij definitie), xi bijdraagt aan het aantal vrienden van vrienden van persoon i, gebruiken we (xi)^2 in de sommatie.  
Laten we nu proberen de tweede vergelijking om te schrijven zodat duidelijk wordt dat het gemiddeld aantal vrienden van vrienden groter is dan het gemiddeld aantal vrienden. Hiervoor gebruiken we de definitie van de variantie:

Deze definitie kunnen we vervormen tot:

Hieruit volgt dat:

Vanuit de laatste vergelijking volgt dus dat het gemiddeld aantal vrienden van vrienden gelijk is aan het gemiddeld aantal vrienden plus een extra term. Merk op dat deze extra term niet negatief kan zijn. Oftewel:

Dus, het gemiddeld aantal vrienden van vrienden is groter of gelijk aan het aantal vrienden van een persoon.
Afijn, het is wellicht jammer om te horen dat jouw vrienden waarschijnlijk meer vrienden hebben dan jij. Desalniettemin zul je altijd meer vrienden hebben dan een wiskundige met zijn flauwe grapjes!
 

Dit artikel is geschreven door Mark Woelders