Vanaf het eerste college Mathematics leren we dat wiskunde in essentie een verzameling van stellingen en definities is die samen met axioma’s (aannames die niet bewezen worden) leidt tot alle nieuwe kennis door de regels van de wiskundige logica toe te passen. Deze manier van wiskunde werd al in het oude Griekenland bedreven. Er zijn echter wiskundigen die niet alle regels van de logica accepteren als bewijsmateriaal. Zij eisen dat elk wiskundig object zoals een getal “geconstrueerd” wordt, en niet slechts een logisch gevolg is van eerdere stellingen en aannames. We hebben het hier over de aanhangers van het intuïtionisme.

Wet van de uitgesloten derde

De belangrijkste regel die intuïtionisten niet accepteren is de wet van de uitgesloten derde. Deze wet in de logica stelt dat een uitspraak altijd óf waar, óf niet waar is. Dit is een veel gebruikte methode om te bewijzen dat een getal irrationaal is. Bij Mathematics I bewezen we dat irrationaal is door aan te nemen dat het rationaal is om vervolgens te ontdekken dat we op een tegenstelling uitkomen. Dus als niet rationaal is, dan móét het wel irrationaal zijn, waarmee het bewijs geleverd is. Dit is een zogenaamd bewijs uit het ongerijmde, of een indirect bewijs.

“Een wiskundig object bestaat pas als de mens de eigenschappen van dat object zelf kan vaststellen en bewijzen.”

Op het eerste gezicht lijkt dit een logische conclusie, maar intuïtionisten accepteren deze manier van bewijzen niet. Het feit dat een uitspraak niet onwaar is, impliceert volgens hen niet dat de uitspraak waar is. Zij houden rekening met een derde optie, namelijk dat een uitspraak waar noch onwaar kan zijn. Overigens bestaat er ook een bewijs dat irrationaal is dat geen gebruikmaakt van de wet van de uitgesloten derde, en dat daarom wordt geaccepteerd door intuïtionisten. Dit bewijs is echter veel lastiger dan het “makkelijke” bewijs uit het ongerijmde dat wij hebben geleerd.

Creatie van de mens

De reden dat intuïtionisten geen indirecte bewijzen accepteren is omdat zij geloven dat wiskunde is gecreëerd door het menselijke brein, en niet een soort universele waarheid die slechts hoeft te worden ontdekt door de mens. Daaruit volgt dat een wiskundig object pas bestaat als de mens de eigenschappen van dat object zelf kan vaststellen en bewijzen. Objecten en hun eigenschappen moeten, met andere woorden, geconstrueerd kunnen worden door het menselijke brein. Een bekend voorbeeld dat hier niet aan voldoet is een bewijs van de stelling dat er irrationale getallen a en b bestaan zodat ab rationaal is: neem . Als rationaal is, dan is daarmee het bewijs geleverd, aangezien irrationaal is. Als   irrationaal is, neem dan en . Dan geldt dat , wat zeker rationaal is. In de klassieke wiskunde is dit een correct bewijs; we hebben immers aangetoond dat er in ieder geval één voorbeeld bestaat dat de stelling kloppend maakt. Maar intuïtionisten zijn nog niet overtuigd, want we weten nog steeds niet of nou het eerste deel van het bewijs geldt of het tweede. Er worden getallen gebruikt waarvan de relevante eigenschappen niet bekend zijn en dus kan het nooit een geconstrueerd bewijs zijn. Een analogie zou zijn dat je een auto bouwt, maar niet weet hoeveel wielen de auto heeft. Met dat soort informatie kan je volgens intuïtionisten niet werken.

L.E.J. Brouwer

Een van de invloedrijkste intuïtionisten is de Nederlander Luitzen Egbertus Jan Brouwer, vaak kortweg L.E.J. Brouwer genoemd. Hij studeerde wiskunde en natuurkunde aan de Universiteit van Amsterdam, waar hij in 1907 zijn PhD behaalde. Voorafgaand aan zijn intuïtionistische werk was hij beroemd om zijn werk in de topologie, waaronder zijn fixed-point theorem, die stelt dat voor iedere continue functie , waar een gesloten bal in is, er een punt bestaat waarvoor . Overigens was zijn bewijs hiervoor niet constructief. Toen hij later in zijn leven het intuïtionistische gedachtegoed omarmde moest hij daarom de conclusie trekken dat zijn eigen stelling niet adequaat was bewezen door hem. Later is deze stelling ook bewezen door constructie, waardoor ook de intuïtionistische Brouwer zijn stelling weer kon accepteren.

De intuïtionistische kijk op wiskunde werd voor het eerst opgeschreven door Brouwer in zijn werk Life, Art and Mysticism in 1905, toen hij 24 jaar oud was. Op latere leeftijd formaliseerde hij het intuïtionisme en converteerde de gangbare wiskunde naar een intuïtionistische vorm daarvan. Onder meer verzamelingentheorie en het concept van continuïteit werd door hem onder handen genomen. Zijn benadering van wiskunde werd als vreemd aangemerkt door de meeste grote wiskundigen uit zijn tijd, omdat de aanpak van het intuïtionisme zo anders is dan de wiskunde die tot dan werd bedreven.

Brouwers leven was beladen met conflicten. Met name de strijd met de Duitse wiskundige David Hilbert is bekend. Dit leidde er uiteindelijk zelfs toe dat Brouwer ontslagen werd uit de redactie van het invloedrijke tijdschrift Mathematische Annalen. De wiskunde in het begin van de twintigste eeuw stond voor een dilemma; in de klassieke wiskunde werden steeds meer paradoxen gevonden, met name in de verzamelingenleer (bijvoorbeeld de paradox van Russell). In de intuïtionistische leer zoals die door Brouwer werd geformuleerd bestonden die paradoxen niet, vaak simpelweg omdat de wet van de uitgesloten derde geen probleem vormde. Het intuïtionisme is minder afhankelijk van wiskundige logica, waardoor er minder snel logische tegenstellingen optreden. Het nadeel van het intuïtionisme was volgens de klassiek georiënteerde wiskundigen echter dat bewijzen door constructie in veel gevallen onnodig moeilijk, en in hun ogen minder elegant waren. Later zijn veel van deze problemen in de klassieke wiskunde opgelost door de axiomatische verzamelingenleer ontwikkeld door Ernst Zermelo en Abraham Fraenkel, wat op dit moment de basis is voor vrijwel alle wiskunde: de zogenaamde ZFC-axioma’s.

Oneindigheid

Binnen het intuïtionisme zijn er verschillende ideeën over wat oneindigheid betekent, en of het überhaupt wel bestaat. Brouwer was zelf overtuigd van “potentiële oneindigheid”. Dat betekent bijvoorbeeld dat ieder natuurlijk getal, hoe groot ook, kan worden geconstrueerd door met 1 te beginnen en telkens 1 toe te voegen tot men op het gewenste natuurlijke getal komt. Deze werkwijze geldt uiteraard alleen voor een eindig natuurlijk getal.

Aanhangers van potentiële oneindigheid stellen dus dat er geen bovengrens zit aan de natuurlijke getallen, maar dat je alleen van eindige getallen het bestaan kunt vaststellen. Daaruit volgt dat de verzameling van natuurlijke getallen door intuïtionisten niet volledig kan worden geconstrueerd. Voor de reële getallen bestaat een vergelijkbare techniek waarmee ieder reëel getal kan worden geconstrueerd, maar de volledige verzameling van reële getallen kan nooit geconstrueerd worden volgens de ideeën van potentiële oneindigheid.

Deze kijk op oneindigheid staat in sterk contrast tot de meer gangbare benadering, die zowel telbaar oneindige verzamelingen (zoals de natuurlijke getallen) als overaftelbaar oneindige verzamelingen (zoals de reële getallen) accepteert als volledig bestaande wiskundige objecten. Een extreme versie van het intuïtionisme is het finitisme, dat het bestaan van oneindigheid in zijn geheel niet accepteert. Wies van Eeden heeft hier in GAXEX 2 van jaargang 37 een artikel aan gewijd.

Nut van intuïtionisme

Tot dusver is gebleken dat de intuïtionistische kijk op de wiskundige wereld zaken in veel gevallen alleen maar moeilijker maakt. Het populaire bewijs uit het ongerijmde wordt naar de prullenbak verwezen en constructie van wiskundige objecten is in veel gevallen erg complex, zonder dat het veel lijkt op te leveren. Waarom bestaan intuïtionisten überhaupt?

Voor intuïtionisten zelf is dat antwoord uiteraard simpel: wiskunde gebaseerd op ZFC is volgens hen simpelweg niet correct. En goed beschouwd is er geen fundamentele reden waarom ZFC wel correct zou zijn, en intuïtionisme niet. Sterker nog, intuïtionisme neemt eigenlijk alleen aan dat de mens intuïtief het getal 1 kent en bij ieder natuurlijk getal 1 kan optellen. De rest van de intuïtionistische inzichten volgt daar in zekere zin uit. ZFC creëert daarentegen een eigen wereld gebaseerd op negen axioma’s, waarvan per definitie niet wordt aangetoond dat deze waar zijn.

Nu is er uiteraard van alles voor de ZFC-basis te zeggen; niet voor niets is het verreweg de meest gangbare fundering voor hedendaagse wiskunde. Ik wil dus niet zeggen dat ZFC vervangen zou moeten worden door een meer intuïtionistische benadering. Het is meer een filosofisch argument: waarom hebben we eigenlijk axioma’s nodig om op een betekenisvolle manier wiskunde te bedrijven? Is wiskunde niet bij uitstek de discipline waar zo min mogelijk wordt aangenomen, en iedere stelling eerst een bewijs vereist voordat het als waar wordt geaccepteerd?

In het verlengde hiervan ligt de filosofische vraag of wiskunde onafhankelijk van de mens bestaat. Kort gezegd: wordt wiskunde ontdekt of uitgevonden? De stelling van Pythagoras is waar, ongeacht of deze door mensen ‘herkend’ zou worden of niet. In de tijd van de Neanderthalers, toen men zich nog niet met de eigenschappen van driehoeken bezighield, was deze stelling al even waar als nu. Dat is een goed argument om te stellen dat wiskunde een onderdeel is van het universum, wat slechts ontdekt hoeft te worden door de mens, net zoals we sterrenstelsels of nieuwe diersoorten ontdekken.

Dit wereldbeeld past goed bij de klassieke kijk op wiskunde. Het vereist namelijk niet dat we van wiskundige objecten alle eigenschappen moeten weten. Als we het bekende voorbeeld van weer nemen, zal de ‘ontdek-wiskundige’ eenvoudigweg stellen dat er een getal bestaat dat gelijk is aan als je het kwadrateert, ongeacht of dat nou rationaal of irrationaal is. Als daarna iemand aantoont dat niet rationaal is, wordt het voor de ontdek-wiskundige makkelijk om aan te nemen dat het dan wel irrationaal zal zijn.

Aan de andere kant zou je aan kunnen voeren dat de stelling van Pythagoras weliswaar al gold in de prehistorie, maar dat de stelling pas betekenis kreeg toen de mens hem als zodanig formuleerde. Met andere woorden, de mens maakt de wiskunde zoals we huizen bouwen. Voordat levende wezens huizen bouwden waren ook alle onderdelen van huizen al aanwezig op aarde, maar hadden zij nog niet de functie van huis, omdat ze nog niet in elkaar waren gezet. Vanuit dit standpunt gezien is het een stuk minder makkelijk om als een soort magisch getal te zien waarvan je wel weet dat het bestaat, maar verder niet veel van haar eigenschappen kent. Je zou kunnen zeggen dat we dat getal eerst moeten ‘bouwen’ voordat we er iets aan hebben, net zoals een stapel stenen nog geen huis is, ondanks dat de ingrediënten al wel aanwezig zijn. Deze zienswijze past goed bij de intuïtionistische blik.

Conclusie

Het intuïtionistische gedachtegoed volgt dus uit de manier waarop sommige wiskundigen naar de wereld kijken. Sinds L.E.J. Brouwer voor het eerst het intuïtionisme uitgebreid formuleerde zijn de twee stromingen dichter naar elkaar toe gegroeid. Daarnaast bestaat over veel zaken consensus onder intuïtionisten en niet-intuïtionisten (zoals eerder genoemd de irrationaliteit van , hoewel de eigenschap verschillend bewezen wordt). Daarop voortbordurend bestaat er nu ook Constructive Zermelo–Fraenkel en Intuitionistic Zermelo–Fraenkel, pogingen om ZFC te verenigen met de intuïtionistische kijk op de wereld. Voor de meeste wiskunde maakt het dus niet uit welke school je aanhangt; het bepaalt eerder aan welke stijl je het meest gewend bent.

Het feit dat er verschillende benaderingen van wiskunde zijn, toont aan dat de werkelijke fundering van wiskunde die we dagelijks gebruiken allerminst duidelijk is. In de praktijk is dat vrijwel nooit een probleem, maar vanuit filosofisch oogpunt blijft dit een interessante kwestie. De werkelijkheid zal waarschijnlijk ergens in het midden, of misschien juist wel totaal ergens anders liggen.

Dit artikel is geschreven door Arthur Molenaar