Kamertje Verhuren

October 9, 2018

Share this article:

Kamertje verhuren. Een spel waarbij twee personen om de beurt lijntjes aan puntjes verbinden om hokjes te vormen. Degene die het meest aantal kamertjes heeft wint. Kamertje verhuren is een zeer simpel spel. Tenminste, zo lijkt het op het eerste gezicht. Zit er meer achter het spel dan dat het spel op het eerste gezicht doet vermoeden? Het antwoord is ja, wiskunde.
Het veld bestaat uit een x aantal puntjes loodrecht onder en naast elkaar. Elke speler moet om de beurt een verticaal of een horizontaal streepje zetten tussen twee punten. Wanneer een speler het laatste streepje zet, waardoor er een vierkantje wordt gevormd, is dat kamertje van hem. Het desbetreffende kamertje wordt gearceerd om uiteindelijk te kunnen zien wie de meeste kamertjes gevormd heeft. Als een speler een kamertje heeft gemaakt door het laatste streepje te zetten moet die persoon nog een streepje zetten.

Soorten spellen

Er bestaan twee soorten spellen; de impartiële spellen en de partiële spellen. De partiële spellen ogen vaak wat lastiger, denk aan schaken en dammen bijvoorbeeld. De impartiële spellen daarentegen ogen vaak wat makkelijker. Een voorbeeld van een impartieel spel is ‘Boter, kaas en eieren’. Het grote verschil tussen beide soorten spellen is dat bij een partieel spel de spelers niet precies dezelfde mogelijkheden binnen het spel hebben. Bij schaak bijvoorbeeld, heeft elke speler immers zijn eigen speelstukken. Bij een impartieel is dit niet het geval. Elke speler kan dezelfde zetten doen binnen het spel als de ander. Het enige verschil tussen de spelers is wie er aan de beurt is. Beiden hebben vanaf zet één toegang tot hetzelfde speelveld. Het spel kamertje verhuren valt voor het grootste deel onder de impartiële spellen. Impartiële spellen zijn makkelijker wiskundig te benaderen dan partiële spellen. Sterker nog, in de twintigste eeuw formuleerden de twee wiskundigen Sprague en Grundy een stelling over impartiële spellen. Deze stelling luidt: “Ieder impartieel spel is equivalent aan het spel Nim.” Het spel Nim is een spel dat al een paar duizend jaar geleden bedacht is in het Verre Oosten. Het doel van het spel is om er voor te zorgen dat jij degene bent die het laatste element pakt uit een verzameling. Dit spel is de simpelste vorm van de impartiële spellen en vormt dan ook de basis voor elk ander impartieel spel. Het hierop volgende artikel gaat dieper in op het spel Nim en het verband met het spel kamertje verhuren.

Tactieken

Tactieken voor het spel kamertje verhuren kunnen op zowel een relatief eenvoudige, als op een complexe manier worden bepaald. De complexe manier vereist kennis over het spel Nim. Voor nu wordt er  naar de relatief eenvoudige manier gekeken.
In het spel kamertje verhuren wordt onderscheid gemaakt tussen lange en korte ketens. Korte ketens bestaan uit twee kamertjes die door één speler in dezelfde zet gepakt kunnen worden. Lange ketens bestaan uit drie of meer kamertjes die door één speler in dezelfde zet gepakt kunnen worden. De winnende tactiek bij het spel is dan ook om het spel zo te forceren dat jij niet degene bent die een lange keten opent. Wanneer je dit namelijk wel doet, heeft de tegenspeler de mogelijkheid meerdere kamertjes in één beurt te pakken. Hieronder is een voorbeeld te zien waarbij het belang van lange ketens binnen het spel duidelijk wordt.
5578
Merk op dat de rode speler de mogelijkheid had om tijdens zijn eerste beurt in één keer drie kamertjes te pakken. Als ervaren speler doet hij dit echter niet, omdat hij nu zijn tegenspeler forceert de nog langere keten te openen waardoor hij zelf het gehele spel wint.
De ‘opofferzet’ die door speler rood wordt gedaan (hij laat twee kamertjes liggen), wordt een ‘double dealing move‘ genoemd. Door deze zet ontstaat een ‘double cross‘; twee kamertjes die alleen tegelijkertijd gepakt kunnen worden. Door de double dealing move kan men de controle in het spel houden. Wanneer een speler de controle heeft in het spel en deze kan behouden, zal hij altijd winnen. Double dealing moves en dus ook double crosses vormen een zeer belangrijke rol binnen het spel. Bij kamertje verhuren is er dus altijd een gevecht om double crosses.
De winnende tactiek bij kamertje verhuren is ‘The Long Chain Rule‘. Deze tactiek berust op het belang van double dealing moves en double crosses. The Long Chain Rule luidt als volgt: “Zorg dat het aantal puntjes in het veld plus het uiteindelijke aantal ketens even is als je speler één bent en oneven als je speler twee bent.” Om te bewijzen dat The Long Chain Rule de winnende tactiek is, maken we gebruik van het gegeven dat speler één altijd de oneven zetten doet en speler twee de even zetten.

Bewijs The Long Chain Rule

Gegeven is het volgende speelveld:

5579

 
5610
 
Omdat men de controle in het spel wil hebben, oftewel niet hoeven te anticiperen op de tegenspeler geldt:
Speler 1 zorgt er altijd voor dat het aantal puntjes + het aantal double crosses oneven is.
Speler 2 zorgt er voor dat het aantal puntjes + het aantal double crosses even is.
Het aantal ketens is altijd 1 minder dan het aantal double crosses. Hieruit volgt dat geldt:
Speler 1 zorgt er altijd voor dat het aantal puntjes + het aantal lange ketens even is.
Speler 2 zorgt er voor dat het aantal puntjes + het aantal lange ketens oneven is.
Hiermee is het bewijs geleverd.
Afijn, het gegeven bewijs voor de The Long Chain Rule oogt wat ingewikkeld. Vergeet echter niet dat je het bewijs niet hoeft te gebruiken voor het spelen van het spel kamertje verhuren. Alleen het resultaat van het bewijs is nodig om te winnen. Dus pak een pen en papier, daag iemand uit en imponeer je tegenstander aan de hand van The Long Chain Rule!
Werpt The Long Chain Rule toch niet goed genoeg zijn vruchten af? Houd dan mijn vervolg artikel in de gaten.


Dit artikel is geschreven door Mark Woelders.

Read more

Why your Dobble cards always match

Why your Dobble cards always match

Dobble: a game played by kids, but still very popular among adults. In the game, you have to draw two random cards and place them face-up on the table between all the players. Then, you have to look for the identical symbol between the two cards. Between every two...

Gabriel’s Horn Paradox

Gabriel’s Horn Paradox

Some people just die too soon. One such person was Evangelista Torricelli, an Italian mathematician who died at the age of 39 in the year of 1647. Had Torricelli lived longer, he just might have discovered calculus, before Sir Isaac Newton and Gottfried Leibniz....

Why do we count in base 10?

Why do we count in base 10?

What is two plus two? The realist will say four, the computer will say 100, and the cynic will say 5 – but which is correct? The reason we count in base 10 stems from the simplest fact: humans have 10 fingers. Understandable and logical, as this seems to be nature’s...