Renderen met Fibonacci

September 7, 2015

Share this article:

‘Behaalde resultaten uit het verleden bieden geen garantie voor de toekomst’. Deze waarschuwing  zie je vaak voorbijkomen als het gaat om reclames van investeringsmaatschappijen of vermogensbeheerders. Het kunnen voorspellen van koersen of het kunnen anticiperen op onverwachte prijsveranderingen is iets waar je als investeerder veel rendement uit kunt halen. Investeerders gebruiken hiervoor vaak een technische analyse gekoppeld aan historische koersinformatie. Een onderdeel van deze technische analyse blijkt ook een wiskundige inslag te hebben en gebaseerd te zijn op de wiskundige Fibonacci. Hoe wordt deze wiskunde toegepast in de praktijk? En in hoeverre is het gebruik van deze techniek verantwoord?

Leandro Pisano

In de Middeleeuwen leefde er in Pisa, Italië, ene Leonardo. Hij trok rond en zag daardoor veel van de tot dan toe bekende wereld. Tijdens zijn reizen, kwam hij in aanraking met de Arabische cijfers en trok hij de conclusie dat deze gemakkelijker in het gebruik waren dan de Romeinse cijfers. In het jaar 1202 publiceerde hij het boek ‘Liber Abaci’, ‘Het boek van de berekening’, en hiermee introduceerde hij de Arabische cijfers in Europa. Later zou Leonardo Pisano bekend worden onder de naam Fibonacci, ‘Zoon van Bonaccio’.

Rij van Fibonacci

Tegenwoordig staat Fibonacci voornamelijk bekend om zijn rekenkundige rij. De reeks is zo opgebouwd dat een element van de rij de som is van de twee voorafgaande elementen van de rij. Hierbij worden 0 en 1 als initiële waarden gekozen. Dit resulteert in de volgende opeenvolging van getallen:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …

De opeenvolgende bovenstaande rij blijkt een aantal eigenschappen te hebben. Ten eerste is het zo dat, naarmate je getallen verderop uit de rij neemt, de ratio van element n+1 en element n \phi  benadert:

    \[\phi = \frac{f_{n+1}}{f_n} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 1.6180\]

Er dient overigens wel opgemerkt te worden dat de Rij van Fibonacci niet de enige rekenkundige reeks is die op deze wijze convergeert. Dit getal \phi noemt men ook wel de Gulden Snede en wordt al bestudeerd sinds de Griekse Oudheid door bijvoorbeeld Euclides en Pythagoras. Aan \phi worden vele bijzondere eigenschappen toegeschreven; in onder meer de verhoudingen van atomen en patronen in sterrenbeelden speelt \phi een rol , maar ook in de natuur. Als we ons beperken tot het gebied van de financiële markten, blijkt de inverse van de Gulden Snede, \phi^{-1}, met name interessant.

    \[\phi^{-1} = \frac{f_{n-1}}{f_{n}} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0.6180\]


Ook bekijken we de ratio van het n^e en n+2^e en de ratio van het n^e en n+3^e element die we respectievelijk \phi_2 en \phi_3 noemen. Naarmate we getallen verderop in de reeks nemen, blijken ook deze ratio’s te convergeren naar een getal. Voor deze getallen geldt het volgende:

    \[\phi_2 = \frac{f_{n}}{f_{n+2}} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0.3820\]

 

    \[\phi_3 = \frac{f_{n}}{f_{n+3}} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0.2360\]

Fibonacci retracement

Het blijkt dat de eerder genoemde \phi’s een rol spelen in het ontdekken van een retracement. Een retracement is een correctie die zich voordoet bij een heersende trend in een aandelenprijs. Na verloop van tijd ebt de invloed van de correctie weg en wordt de ingezette trend weer voortgezet. Retracements zijn erg populair bij investeerders die ze gebruiken om strategische posities te vinden om transacties te plaatsen. Het is belangrijk te vermelden dat de trend op de lange termijn duidelijk omhoog of omlaag moet zijn. Deze trend kan zowel opwaarts of neerwaarts zijn.
Laten we er eens een voorbeeld bij pakken om te kijken hoe zich dit in de praktijk voordoet. In de grafiek hieronder zien we de wisselkoers tussen de euro en de Amerikaanse dollar. We nemen aan dat de koers al geruime tijd een trend omhoog laat zien. De periode van 18 mei tot 22 mei wordt hier speciaal uitgelicht; het hoogste punt wordt gemarkeerd met 0,0% en het laagste met 100,0%. Na deze periode ontstaat de zogenoemde retracement. In de praktijk blijkt dat de retracement kan aanhouden tot op het moment dat de prijs een Fibonacci niveau bereikt. Het gebeurt vaak dat de prijs op één van deze niveaus ondersteuning vindt, een prijsniveau waar de vraag naar een aandeel het aanbod overstijgt. In de grafiek kunnen we zien dat de koers daalt tot op het niveau van 23,6% en even lijkt het alsof de koers zijn eerdere trend voortzet. Er blijkt echter te weinig ondersteuning bij deze prijs en deze neemt nog verder af. Zodra de prijs het niveau van 38,2% bereikt, begint de vraag naar het aandeel het aanbod te overstijgen. De eerder ingezette trend naar boven wordt dan weer voortgezet. De 23,6% en de 38,2% komen respectievelijk overeen met \phi_3  en \phi_2. In dit specifieke geval speelt de 61,8% geen rol, maar het kan ook voorkomen dat de koers stabiliseert op dit niveau, overeenkomend met \phi^{-1}.  Overigens is het percentage van 50,0% niet gebaseerd op de Rij van Fibonacci. Investeerders gebruiken het toch vaak. Het blijkt dat mensen veel waarde geven aan het begrip ‘de helft’ waardoor stabilisatie in de praktijk op een natuurlijke wijze tot stand komt. Natuurlijk kan het ook voorkomen dat er sprake is van een neerwaartse trend. Dit betekent dat de redenatie van het voorbeeld hieronder wordt omgedraaid; de retracement is dan een correctie naar boven.
example retracement

Fibonacci arcs

Naast de retracements worden ook andere technieken aan de hand van de wiskunde van Fibonacci toegepast. Eén daarvan zijn de zogenaamde Fibonacci arcs. Waar de Fibonacci retracement geen rekening houdt met de verstreken tijd gedurende de geanalyseerde periode, doen Fibonacci arcs dat wel. Retracements houden alleen rekening met een verticale verandering, de verandering in prijs. Net als bij de retracements moet er duidelijk sprake zijn van een trend omhoog of neerwaarts. De werking kan wederom het best worden geïllustreerd aan de hand van een voorbeeld.
De grafiek laat de koers zien van de aandelen van Home Depot, één van de grootste doe-het-zelf-ketens van de wereld. Weer dienen we aan te nemen dat het aandeel Home Depot als eigenschap heeft dat het in een omhooggaande trend zit. Door een lijn te trekken van de hoogste prijs naar de laagste prijs in de te analyseren periode, identificeren we de base line. Waar bij de retracements de niveaus alleen werden vastgesteld op basis van de verticale afstand, gebruiken we nu de Base Line om de niveaus op te stellen. Zoals in de grafiek aangegeven, gebruiken we in dit specifieke geval 38,2% en 61,8%. Dit zijn percentages gebaseerd op Fibonacci. Ook de 50,0% wordt hier weer vaak gebruikt in de praktijk, maar deze is niet gebaseerd op de rekenkundige rij. Vervolgens worden er halve cirkels gecreëerd met als straal de afstand tussen het niveau en in dit geval de hoogste prijs, zoals gedaan in de grafiek hieronder. Door het gebruik van de Base Line in plaats van de verticale afstand heeft de tijdsspanne van de periode een grotere rol gekregen; een groot prijsverschil over een grote tijdsspanne zorgt voor een lange Base Line met wijde bogen, terwijl een klein prijsverschil gedurende een korte periode een korte Base Line en dus smalle bogen oplevert.


“Waar de Fibonacci retracement geen rekening houdt met de verstreken tijd gedurende de geanalyseerde periode, doen Fibonacci arcs dat wel.”

In het voorbeeld van het aandeel Home Depot, zien we duidelijk de werking van de Fibonacci arcs. De prijs gaat, na de piek van de Base Line, naar beneden en vindt ondersteuning in de boog van 61,8%. Daarna stijgt deze weer en vindt zijn plafond bij de boog van 50,0%. Vervolgens zet de trend omhoog van de lange termijn zich weer voort als de prijs buiten het bereik van de bogen komt. In principe hebben de Fibonacci retracements en arcs hetzelfde doel; het anticiperen op ondersteuningen en plafonds van de prijs van aandelen.

example arc

Fibonacci time zones

Daar waar de retracements en Fibonacci arcs niveaus stelden op horizontaal vlak, bestaat er ook een techniek die de niveaus juist verticaal vaststelt. Zoals de naam al doet vermoeden, werken de Fibonacci time zones alleen in de dimensie van tijd. Als we zeggen dat we ‘dagen’ als eenheid gebruiken, dan kunnen we verticale lijnen trekken volgens de Fibonacci sequentie; 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 etc. Als beginpunt wordt een opvallende prijsverandering genomen en na één dag wordt de eerste verticale lijn getrokken. De volgende weer twee dagen later en de lijn daarna drie dagen later. Deze punten, gebaseerd op Fibonacci, zou volgens de theorie van de Fibonacci time zones een heftige prijsschok moeten plaatsvinden. Hoewel dit misschien een erg speculatieve manier van het anticiperen op plotselinge prijsveranderingen lijkt, nemen investeerders deze techniek toch vaak op in hun pakket om aandelenmarkten te analyseren.
Fibo_time_zone

Toepasbaarheid

De Rij van Fibonacci blijkt, net zoals in de natuur, ook voor te komen op de aandelenmarkt. Maar wat is hier de verklaring voor? Is er bewijs te vinden dat dit verschijnsel verklaart? Er blijkt geen duidelijke verklaring te zijn waarom deze Fibonacci niveaus zo belangrijk zijn op dit gebied. Althans, er staat nergens zwart op wit een bewijs dat de Rij van Fibonacci daadwerkelijk een rol speelt op de aandelenmarkt. Je kunt er dus je vraagtekens bijzetten waarom de Fibonacci niveaus gebruikt worden door zoveel investeerders. Maar, zoals wordt geschreven (Gaucan, 2011), of je nu wel of niet gelooft of de niveaus zelf bepalende eigenschappen hebben; het feit dat Fibonacci zo uitvoerig gebruikt wordt, creëert automatisch een systeem waarin de niveaus een rol spelen. Anders gezegd; doordat bijna iedereen vasthoudt aan de niveaus, worden ze vanzelf belangrijk. Dit betekent dat de methode van Fibonacci zeker moet worden opgenomen in de manier waarop aandelenmarkten worden geanalyseerd. Bovendien versterken de drie methodes die in dit artikel beschreven zijn elkaar wanneer ze tegelijkertijd worden toegepast.


“Er staat nergens zwart op wit een bewijs dat de Rij van Fibonacci daadwerkelijk een rol speelt op de aandelenmarkt.”

Na het analyseren van de methodes op basis van de Rij van Fibonacci kunnen we stellen dat deze blijken te werken. Daarentegen is er niet een duidelijke reden waaróm het blijkt te werken. De enige verklaring hiervoor kan een eigenschap van financiële markten zijn; omdat iedereen vasthoudt aan de importantie van de Fibonacci reeks en zijn strategie erop bepaalt, ontstaat er vanzelf een systeem dat lijkt te werken. Nu rijst misschien de vraag hoe dit ooit begonnen is. Werkte de techniek al voordat iedereen die toepaste? Of gebeurde dit pas nadat het fenomeen van Fibonacci gehypet werd? Dit vraagstuk kun je dan ook plaatsen in de categorie ‘wat was er eerder? De kip of het ei?’ en het is daarom lastig om hierop een antwoord te geven.


Dit artikel is geschreven door Jorrit Visser

Read more

Tornado Cash

Tornado Cash

Tornado Cash is a tool used on the blockchain. Specifically on the Ethereum blockchain and is known as a crypto mixer. Recently Tornado Cash has been in the news because it has been added to the Specially Designated National & Blocked Persons List (SDN). This...

Portfolio dynamics 101

Portfolio dynamics 101

A portfolio is a collection of financial investments like stocks, bonds, commodities, cash, and cash equivalents, including closed-end funds and exchange-traded funds (ETFs). People generally believe that stocks, bonds, and cash comprise the core of a portfolio....