Al-jabr: Wie is de vader van de algebra?

January 31, 2017

Share this article:

 
De stelling van Pythagoras kennen we allemaal. Wiskunde werd al volop beoefend in de Griekse Oudheid en veel stellingen van toen houden nog steeds stand. Wat minder bekend is, is de islamitische invloed op de wiskunde. Onze oude vertrouwde algebra is een goed voorbeeld van de bijdrage die de vroege moslims leverden aan ons wiskundeboek.
 

Het Huis der Wijsheid

Hoewel algebra een Latijnse term is, is het een afleiding van het Arabische al-jabr. De vader van deze wiskundige discipline is de 9e-eeuwse Arabische wetenschapper Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi uit Bagdad. Hij werd geboren rond 780 en stierf rond 850 na Christus. Verder is er weinig over hem bekend. In het toenmalige Bagdad was er zojuist een gigantische culturele en wetenschappelijke bloeiperiode in gang gezet. De Abbasieden, de toenmalige politieke leiders van het islamitische rijk, zetten er Het Huis der Wijsheid op. Hier kwamen geleerden op allerlei vakgebieden vanuit het gehele islamitische rijk bijeen en leefden de literaire kritiek en het wetenschappelijk onderzoek enorm op. De reeds beschikbare wetenschap werd er vanuit het Grieks en Hindu vertaald en becommentarieerd, maar ook werden er nieuwe filosofische teksten geschreven en werd er wetenschappelijk onderzoek gedaan. Het wordt gezien als het eerste grote gesubsidieerde wetenschappelijke project ooit.
 

 
Op het gebied van wiskunde werd vooral voortgebouwd op de kennis die al beschikbaar was vanuit Griekenland en India. Al-Khwarizmi kwam hier voor het eerst in aanraking met de Indiase getallen (0,1,2,3,4,5,6,7,8 en 9). Je kunt het je haast niet meer voorstellen, maar deze manier van rekenen bestond hiervoor nog niet. Hij vertaalde de getallenleer naar het Arabisch en wij kennen onze cijfers dan ook als de Arabische cijfers. Al-Khwarizmi was de eerste die het getal 0 gebruikte als een positionele plaatshouder. Voor de rest van de getallen werd dit al gedaan. Hij was hiermee de eerste die getallen als 1001 kon schrijven in Arabische cijfers. Van zijn naam al-Khwarizmi, waar de ‘kh’ wordt uitgesproken als ‘g’, komt ons woord algoritme. Dit verwijst naar de Latijnse vertaling van zijn werk over Arabische cijfers, dat de naam ‘Algoritmi de numero Indorum’ droeg, ‘Al-Khwarizmi over de Indische cijferkunde’.
 

Algebra

In 825 schreef al-Khwarizmi het boek ‘Hidab al-jabr w’al-muqubala’, dat vrij vertaald zoiets betekent als ‘De wetenschap van de jabr en de muqubala’. Het is zijn belangrijkste werk. Hij droeg het op aan de toenmalige Abbasidische leider, de kalief al-Ma’mun, de sponsor van het wetenschappelijke werk in Het Huis der Wijsheid te Bagdad. Het boek van al-Khwarizmi gaat, zoals de titel doet vermoeden, vooral over twee onderwerpen: jabr en muqubala. Dit waren nieuwe termen die sindsdien op vele verschillende manieren vertaald zijn, wier invloed op de algebra niet te missen is. Al-Khwarizmi maakte zich met dit werk los van de Griekse wiskundige traditie, die vooral geometrie behelsde. Het boek heeft weinig weg van een huidig wiskundeboek. Het was een louter prozaïsch werk, dat nog geen van de algebraïsche symbolen van vandaag bevatte. Een voorbeeld van een vertaalde passage luidt:
 
“Stel, je hebt ‘tien plus iets dat vermenigvuldigd moet worden met iets min tien’, dan is dit hetzelfde als ‘iets plus tien dat vermenigvuldigd moet worden met iets min tien’. Daarom zeg je, iets vermenigvuldigd met iets is een positief kwadraat; tien vermenigvuldigd met iets is tien keer iets positief; en min tien vermenigvuldigd met iets is tien keer iets negatief. De tien keer iets positief wordt tenietgedaan door de tien keer iets negatief en alleen het kwadraat blijft over. Min tien vermenigvuldigd met tien is honderd, die je moet aftrekken van dit kwadraat. De uitkomst is daarom het kwadraat min de honderd.”

Hoe dik zouden onze wiskundeboeken zijn als alles op deze manier zou moeten worden uitgeschreven? Daarbij is het moeilijk je een vergelijking voor te stellen in woorden. De schrijfwijze compliceerde de wiskunde en het Arabische cijfersysteem was dan ook meer dan welkom.
Heden ten dage niet meer weg te denken uit ieder wiskundeboek, ongeacht niveau, is jabr. Het Nederlands heeft er helaas geen woord voor, maar het gaat hier om het verplaatsen van een negatieve term van de ene kant van een vergelijking naar de andere kant. Natuurlijk verandert bij deze verplaatsing de term van teken; ze wordt positief na verplaatsing. Je kunt je voorstellen dat dit een grote doorbraak was binnen de wiskunde: probeer maar eens een vergelijking op te lossen zonder het gebruik van jabr.
Muqubala is eigenlijk een andere vorm van hetzelfde. Muqubala duidt het aftrekken van een term aan beide kanten van een vergelijking aan. Dit is de oplossing voor het verplaatsen van een positieve term van de ene naar de andere kant van een vergelijking. Met deze twee methoden zette al-Khwarizmi de rekenkundige wereld op zijn kop. Het gebruik van ‘muqubala’ raakte later in verval. Al-jabr kreeg de betekenis voor beide methoden en vormt de basis van de huidige algebra.
[laread_preformat]Een van de gebruikte vertalingen van ‘jabr’ was restauratie. Via de Moren in Spanje kwam deze term Europa binnen en kreeg hier een totaal andere betekenis dan haar wiskundige oorsprong. Barbiers, die toen ter tijd ook vaak de diensten van aderlaten en het zetten van botbreuken aanboden, namen de naam algebristen aan. Restaurateurs van de bloedsomloop en de botten. De palen met wit-rode spiralen die een barbierswinkel aanduiden, herinneren nog aan deze nevendiensten.[/laread_preformat]
Algebra was een theorie die er voor zorgde dat zowel rationele als irrationele getallen en zelfs geometrische grootheden konden worden aangeduid als ‘algebraïsche objecten’. Al-Khwarizmi introduceerde in feite ‘de onbekende’, onze grote vriend x, ook al gebruikte hij zelf dit symbool nog niet. Dit opende vele deuren voor wiskundigen en bracht de ontwikkeling van de wiskunde in een stroomversnelling. Door gebruik van algebra kon wiskunde ineens worden toegepast in vele andere velden. Vergelijkingen konden worden opgelost zelfs als ze niet puur over cijfers gingen. Het eerste gebruik van wiskundige symbolen als x stamt uit de 14e eeuw en is dus pas eeuwen na het ontstaan van de algebra in gebruik genomen.
 

Voorbeeld

In zijn boek lost al-Khwarizmi een vergelijking als x^2 + 10x = 39 op aan de hand van figuren. Dit gaat als volgt in zijn werk: Hij begint met het kwadraat van x, het vierkant x^2 zoals te zien in Figuur 1. Daarbij dienen we 10x op te tellen en dit doen we door vier rechthoeken toe te voegen van elk 10/4\cdot x, oftewel 5/2\cdot }x. Dit is te zien in Figuur 2. Nu weten we dat Figuur 2 een oppervlakte heeft van x^2 + 10x, wat gelijk is aan 39. We voegen de vier hoekjes toe om het vierkant compleet te maken. Elk van de vier hoekjes heeft een oppervlakte van 5/2\cdot 5/2 = 25/4. Het gehele grote nieuwe vierkant, te zien in Figuur 3, heeft dus de oppervlakte 4\cdot  25/4 + 39 = 25+ 39 = 64. Dat betekent dat iedere zijde een lengte heeft van \sqrt{64}=8, wat gelijk is aan 5/2 + x + 5/2 = x +5. Wat volgt is x=3, de oplossing van de vergelijking.

 
 
Hoewel al-Khwarizmi zelf zijn werk slechts zag als een praktische gids over het rekenen dat de gewone man nodig heeft in zijn dagelijks leven (zoals voor het verdelen van een erfenis of het graven van een kanaal), had zijn methode een veel grotere invloed. De wiskunde van vandaag was niet hetzelfde geweest zonder deze 9e-eeuwse Arabier. Dankzij hem zijn we nog steeds vaak op zoek naar x, of in al-Khwarizmi’s woorden: ‘iets’.
 


“When I consider what people generally want in calculating, I found that it always is a number.” – al-Khwarizmi


Dit artikel is geschreven door Agnes Lieftinck.

Read more

Why your Dobble cards always match

Why your Dobble cards always match

Dobble: a game played by kids, but still very popular among adults. In the game, you have to draw two random cards and place them face-up on the table between all the players. Then, you have to look for the identical symbol between the two cards. Between every two...

Gabriel’s Horn Paradox

Gabriel’s Horn Paradox

Some people just die too soon. One such person was Evangelista Torricelli, an Italian mathematician who died at the age of 39 in the year of 1647. Had Torricelli lived longer, he just might have discovered calculus, before Sir Isaac Newton and Gottfried Leibniz....

Why do we count in base 10?

Why do we count in base 10?

What is two plus two? The realist will say four, the computer will say 100, and the cynic will say 5 – but which is correct? The reason we count in base 10 stems from the simplest fact: humans have 10 fingers. Understandable and logical, as this seems to be nature’s...