Op het kruispunt van vele wetenschappen: Lissajousfiguren

May 23, 2017

Share this article:

 
Ooit een wiskundig figuur gezien dat je zo mooi vond dat je dacht; dit wil ik voor de rest van mijn leven op mijn lichaam hebben? Hoogstwaarschijnlijk is het antwoord nee. Voor mij, echter, werd dit waarheid in de vijfde klas van de middelbare school. Onze docent begon zijn les over Lissajousfiguren en ik was verkocht. Sinds een jaar prijkt deze wiskundige grafiek op mijn bovenarm in de vorm van een tatoeage en kan ik er dus iedere dag van genieten. Vandaag neem ik je mee in de geschiedenis van deze figuren en hun toepassing.
Een Lissajousfiguur is een grafiek van de parametrische vergelijkingen x=A\sin(\alpha t + \delta), y = B\sin(t), dat complexe harmonische bewegingen vertoont.
Een aantal bijzondere gevallen van Lissajousfiguren zijn de lijn (\alpha = 1, \delta = 0) en stuk van een parabool (\alpha = 2, \delta = \frac{\pi}{2}).  

De verhouding \frac{A}{B} geeft de verhouding lengte tot breedte weer. Is deze groter dan 1, dan is de grafiek breder dan lang en voor kleiner dan 1 vice versa.
De figuur is qua vorm zwaar afhankelijk van de ratio \frac{\alpha}{\beta}. Een aaneengesloten grafiek komt alleen voor bij een rationele breuk \frac{\alpha}{\beta}. In dat geval is \alpha het aantal gesloten lussen in de figuur. Wanneer deze breuk gelijk is aan 1, is een Lissajous figuur een ellips. Bij hoge uitzondering is de figuur gelijk aan een cirkel, namelijk voor A en B gelijk en \delta = \frac{\pi}{4}. Het aantal ‘pieken’ in de figuur hangt af van de frequentie van de horizontale en verticale golf. Drie pieken betekent bijvoorbeeld dat de horizontale frequentie drie keer zo hoog is als de verticale.
Het toevoegen van een derde dimensie aan een Lissajous figuur op de z-as maakt een zogenoemde Lissajousknoop. Op iedere as volgt de knoop een sinusoïde, en op ieder vlak is de knoop een Lissajousfiguur. Een Lissajousknoop is dus niets meer dan een driedimensionale sinus.

De Amerikaanse astroloog en wiskundige Nathaniel Bowditch was de gelukkige ontdekker van de Lissajous curves. Bowditch stond er om bekend dat hij zich graag terugtrok in de stilte van het platteland rondom Boston om uren achtereen uitgebreide berekeningen te maken. Hij leerde zichzelf onder andere Latijn om oude wiskundige geschriften te kunnen lezen in plaats van te moeten vertrouwen op de vertalingen. Zijn bekendste werk is het ‘New American Practical Navigator’, gepubliceerd in 1802. Deze zeemansbijbel, die de wiskunde beschrijft die nodig is voor het navigeren op zee, wordt nog steeds gedrukt.
Bowditch publiceerde in 1815 een paper genaamd ‘On the Motion of a Pendulum Suspended from Two Points’. Hierin legt hij het fundament voor wat later bekend zou worden als het Lissajousfiguur. Zijn werk is voortgezet en uitgebreid door de Fransman Jules Antoine Lissajous in 1857, aan wie de figuren hun naam ontlenen. Lissajous onderzocht methoden om akoestische trillingen visueel zichtbaar te maken. Hij liet hierbij geen materiaal ongebruikt en werkte met onder andere lichtbakens, spiegels en zand. Hij ontwikkelde verschillende constructies die Lissajousfiguren maken.
In de meest succesvolle van deze constructies wordt een lichtstraal weerkaatst door een spiegel die is vastgemaakt aan een vibrerende stemvork. Vervolgens wordt deze lichtstraal nogmaals weerkaatst in een spiegel verbonden een een stemvork. Deze tweede stemvork staat loodrecht op de eerste. De twee stemvorken trillen beide met een andere frequentie; ze geven zo een harmonisch interval weer. De lichtstraal die nu op de muur valt beschrijft een Lissajous-figuur. Vandaag de dag wordt een soortgelijke constructie nog steeds gebruikt voor lasershows.

Een ander voorbeeld van een constructie om akoestische trillingen zichtbaar te maken is het laten slingeren van een emmer gevuld met zand. Door een gat in de bodem van de emmer ontsnapt een dunne straal zand. Wanneer je de slinger op twee punten bevestigt aan een stang en de emmer een zet geeft, ontstaat een Lissajous-figuur. Dit is de basis voor de publicatie van Bowditch geweest.

 

Toepassingen

In de tijd voor het ontwikkelen van digitale frequentiemeters werden Lissajous-figuren gebruikt voor het meten van de frequentie van een onbekend signaal. Een bekende frequentie werd dan bevestigd aan de horizontale as van een oscilloscoop. Door het onbekende signaal te bevestigen aan de verticale as ontstond een Lissajous-figuur overeenkomstig met de ratio van de twee frequenties. Zo kon ook van een onbekend signaal de frequentie worden bepaald.
De relatie tussen links en rechts in stereo audio wordt geanalyseerd met gebruik van Lissajous figuren. Ooit een mengpaneel gezien met daarop een oscilloscoop? Op dit schermpje komen regelmatig Lissajous figuren voor, die de geluidstechnicus helpen een optimale mix te bewerkstelligen. De moderne mengpanelen zijn deze techniek voorbij en hebben de oscilloscoop geïnternaliseerd, maar de old-skool panelen vertonen nog dit staaltje wiskunde. Het perfect uitlijnen van twee elektronische circuits kan ook gedaan worden met behulp van Lissajousfiguren, en wordt nog steeds in de praktijk gebruikt. Wanneer je de twee frequenties invoert op de twee assen van een oscilloscoop weet je zeker dat je twee signalen perfect gelijk zijn wanneer er een lijn van linksonder naar rechtsboven op het scherm verschijnt.

Ook worden Lissajous patronen ingezet bij verlichting van bijvoorbeeld locomotieven. De koplampen, die bewegen volgens de sinusoïden van een Lissajousfiguur met A=1,\ B=2, trekken de aandacht van voorbijgangers en vergroten zo de veiligheid op spoorwegovergangen. Je kunt ze dichterbij zien komen in tegenstelling tot een statisch lichtpunt aan de horizon. Deze techniek is ontwikkeld door Mars Light en wordt vooral in Amerika gebruikt.
De esthetiek van Lissajousfiguren is niet alleen gewaardeerd door ondergetekende, ook enkele kunstenaars raakten er aan verslingerd. De Dadaïstische schilder Max Ernst gebruikte de ‘drip-techniek’, waarbij hij een emmer verf aan een slinger hing en deze verf liet lekken op het doek via een gat in de bodem. De slinger bevestigde hij aan twee punten. Hij liet de slinger mechanisch een sinus beschrijven in beide richtingen en creëerde zo Lissajous-figuren op zijn canvas. In Ernsts woonplaats New York volgden velen zijn voorbeeld en werd ‘dripping’ een heuse kunstbeweging. Een van de bekendste gebruikers van deze techniek is Jackson Pollock, ook wel ‘Jack the Dripper’ genoemd.

Young Man Intrigued by the Flight of a Non-Euclidean Fly, Max Ernst, 1947


In de ruimtevaart spelen Lissajousfiguren een rol in het beschrijven van de banen van ruimtevaartuigen. Momenteel zijn er geen projectielen in de ruimte die een dergelijke baan volgen. Het meest recente voorbeeld is de Chinese Chang’e 2 die een Lissajous-figuurlijke baan volgde om de zon tot midden 2012. Naast gebruik voor het traject van ‘vaste’ banen worden Lissajous-figuren ook gebruikt om een ruimtevaartuig te verplaatsen van de ene baan naar de andere.
Lissajousfiguren zijn een mooi voorbeeld van hoe verscheidene velden in de wetenschap met elkaar verbonden zijn, zonder dat we het op het eerste gezicht doorhebben. Met toepassingen in zowel muziek als sterrenkunde, wiskunde en zelfs kunst kunnen de figuren gerust all-rounders worden genoemd. Wat begon met twee spiegels is uitgegroeid tot een methode om ruimtevaartuigen van baan te laten veranderen. Dit hadden Lissajous en Bowditch slechts durven dromen. Laat staan dat hun figuren nog jaarlijks eindexamenstof zijn voor VWO Wiskunde B.


Dit artikel is geschreven door Agnes Lieftinck.

Read more

Why your Dobble cards always match

Why your Dobble cards always match

Dobble: a game played by kids, but still very popular among adults. In the game, you have to draw two random cards and place them face-up on the table between all the players. Then, you have to look for the identical symbol between the two cards. Between every two...

Gabriel’s Horn Paradox

Gabriel’s Horn Paradox

Some people just die too soon. One such person was Evangelista Torricelli, an Italian mathematician who died at the age of 39 in the year of 1647. Had Torricelli lived longer, he just might have discovered calculus, before Sir Isaac Newton and Gottfried Leibniz....

Why do we count in base 10?

Why do we count in base 10?

What is two plus two? The realist will say four, the computer will say 100, and the cynic will say 5 – but which is correct? The reason we count in base 10 stems from the simplest fact: humans have 10 fingers. Understandable and logical, as this seems to be nature’s...