Hoe win je veilingen?

September 7, 2015

Share this article:

Veilingen kom je overal in de economie tegen. Van Auction Hunters die in het gelijknamige programma op Discovery Channel garageboxen vol met prullaria opkopen, tot deftige veilinghuizen als Sotheby’s en Christie’s, waar soms producten voor miljoenen euro’s geveild worden. Veilingen kunnen zowel voor kopers als verkopers een interessante manier zijn om goederen en diensten te verhandelen. De vraag waar econometristen in geïnteresseerd zijn luidt natuurlijk: wat is de optimale strategie bij een veiling?

Allereerst is het belangrijk om te bepalen wat we eigenlijk willen optimaliseren. In speltheorie is het standaard om te proberen je payoff te maximaliseren. Aangenomen dat het te veilen product een waarde v heeft, en dat jij bedrag b_i hebt geboden. Bij veilingen wordt je payoff P dan gedefinieerd als

    \[P = \begin{cases} v- b_i & \text{als je wint} \\ 0 & \text{als je niet wint}\end{cases}\]

Het is duidelijk dat je niets aan de veiling hebt als je niet het hoogste bod deed, maar je verliest ook niets. Je payoff is dus 0. Je bod is alleen van belang als je de veiling ook echt wint. Vanaf nu gaan we er dus van uit dat je probeert je payoff te maximaliseren, en daarnaast dat al je concurrenten óók proberen hun payoff te maximaliseren.

Pot geld

Laten we nu een fictieve veiling voorstellen waarin een glazen pot met geld wordt geveild volgens het first-price sealed bid principe. Dit betekent dat iedereen die een bod wil doen op de pot met geld een briefje bij de veilingmeester inlevert met zijn of haar bod. Vervolgens selecteert de veilingmeester het briefje met het hoogste bod, en die partij moet de pot met geld kopen voor dat bedrag. Het precieze bedrag dat in de pot zit is echter niet bekend, maar je kunt natuurlijk wel een schatting maken. Daarnaast zijn er nog 20 anderen die net als jij meedoen aan de veiling. Als koper is dit type veiling problematisch, want je weet niet wat de rest van de kopers biedt. Daarnaast moet je bod zo nauwkeurig mogelijk de waarde van het geld in de pot reflecteren, want als je bod lager is dan het bedrag in de pot is de kans groot dat iemand anders meer biedt. Als je bod echter hoger is dan het bedrag in de pot, heb je een negatieve payoff mocht je de veiling winnen. Geen van beide scenario’s is gunstig. Wat is in dit geval de beste strategie?

Allereerst is het belangrijk om een idee te hebben van de hoeveelheid geld die er ongeveer in de pot zou kunnen zitten. Het is onwaarschijnlijk dat je precies het goede bedrag gokt, maar je kunt door de pot te bestuderen in ieder geval een inschatting maken. Laten we nu aannemen dat je tot de conclusie komt dat er volgens jou ongeveer 10 euro in de pot zit.

Een intuïtieve strategie zou kunnen zijn om precies die 10 euro te bieden. Je verwacht immers dat dit bedrag erin zit, dus dat is voor zover jij kunt bepalen de beste voorspeller voor de werkelijke waarde in de pot. Daarom nemen we nu aan dat iedereen precies biedt wat hij of zij verwacht dat in de pot zit. De briefjes worden ingeleverd en de veilingmeester kijkt ze alle 21 in en roept jou uit tot winnaar. Gefeliciteerd, jouw bod van 10 euro heeft gewonnen!

Misschien ben je blij dat je gewonnen hebt. Maar nog voordat je de pot in handen hebt besef je: het feit dat jij gewonnen hebt, betekent dat alle andere bieders een lager bod hebben uitgebracht dan jij. De kans is dus groot dat jouw bod iets aan de hoge kant was en dat er in werkelijkheid veel minder dan 10 euro in de pot zit. Je blijdschap verdwijnt als sneeuw voor de zon, want je zit waarschijnlijk opgescheept met een negatieve payoff. Dit fenomeen staat bekend als de winner’s curse: als je bij een gesloten veiling het hoogste bod hebt is de kans groot dat jouw bod te hoog was en dat je dus te veel hebt betaald. In dit geval is b_i waarschijnlijk hoger dan v, waardoor je met de gebakken peren zit.

Het is duidelijk geen goede strategie om precies te bieden wat je verwacht in de pot aan te treffen: als je niet wint heb je sowieso niks en als je wel wint was je bod waarschijnlijk te hoog. Je verwachte payoff is negatief met deze strategie, waardoor je dus beter helemaal niet had kunnen meedoen aan de veiling.


“Het is duidelijk geen goede strategie om precies te bieden wat je verwacht in de pot aan te treffen.”

Bij een first-price sealed bid veiling moet je benadering anders zijn. Zoals we eerder hebben vastgesteld is je bod irrelevant als je niet wint: je payoff is dan hoe dan ook 0. Laten we ons dus focussen op de situatie waarin je de veiling wint. We gaan terug naar die pot met geld die je hebt gewonnen. Je dacht eerst dat er 10 euro in zat. Maar met de extra informatie dat 10 euro het hoogste bod was van 21 biedingen, kan je je verwachting naar beneden bijstellen. Hoeveel denk je nu dat er in de pot zit? Een simpele methode is om jouw bod als bovengrens van het bedrag te zien en zelf een ondergrens te bepalen: misschien kan je zien dat er minstens 20 muntjes van 20 cent in zitten, waardoor het bedrag dus minimaal 4 euro moet zijn. Als je dan het gemiddelde van die boven- en ondergrens neemt heb je een nieuwe schatting voor het aantal euro in die pot: in dit geval dus 7 euro.

Die schatting van 7 euro is een voorwaardelijke verwachting, namelijk gegeven dat die 10 euro het hoogste bod was. Dat nieuwe bedrag is een veel beter bod om uit te brengen. Laten we het scenario nu opnieuw afspelen met 7 euro. Als je bod van 7 euro niet wint, dan is je payoff 0. Als je bod van 7 euro echter wél wint, dan is er niks aan de hand. Dat bod van 7 euro hield er immers al rekening mee dat je schatting het hoogste zou zijn, en dus is er geen sprake meer van de winner’s curse. In het kort moet je dus bieden wat je denkt dat er in de pot zit, gegeven dat jouw eigen schatting de hoogste schatting is van iedereen.

Common value & private value

Deze vorm van bieden komt veel voor bij veilingen georganiseerd door de overheid, bijvoorbeeld bij het veilen van 4G-frequenties of de rechten om een oliebron te mogen exploiteren. Dit zijn veilingen met common value: de voorbeelden die net genoemd werden hebben een bepaalde waarde die voor iedereen gelijk is. Alle potentiële kopers in die veiling proberen dus dezelfde waarde te schatten en daardoor is het waarschijnlijk dat je te veel betaalt als je niet nadenkt over de winner’s curse. De first-price sealed bid is een aantrekkelijke vorm van veiling voor de verkoper, aangezien de kopers geen informatie krijgen over de biedingen van anderen.

Naast common value bestaan er ook producten met private value. Voorbeelden hiervan zijn schilderijen, antiek meubilair of een huiskamerconcert dat geveild wordt door Serious Request. Deze producten kunnen voor de ene koper een totaal andere waarde hebben dan voor een andere koper. Voor een concert van je favoriete band bij jou thuis heb jij misschien wel 100 euro over voor het goede doel, terwijl de ander er nog geen tientje voor geeft.

Deze producten worden vaak op een andere manier geveild: de open ascending methode. Deze methode is heel bekend en wordt ook toegepast op bijvoorbeeld eBay of Marktplaats. Er is een openingsbod, en vanaf dan kan iedereen hoger bieden dan het huidige bod als hij of zij dat wil. Het voordeel bij veilingen van private value is dat er geen onzekerheid is bij de kopers: jij weet van jezelf precies wat je voor product X overhebt, alle biedingen van je concurrenten zijn bekend, en je kunt stoppen met meedoen als de prijs van het product te hoog wordt.

Laten we een voorbeeld nemen van een schilderij van je favoriete kunstenaar dat wordt geveild volgens een open ascending veiling. Je weet van jezelf dat je 100 euro overhebt voor dit schilderij. Het startbod is 50 euro dus je zit in de race. Na een tijdje is het hoogste bod 90 euro en je hebt een dilemma: wat moet je doen?

In dit geval is het simpel: je kunt bieden tot 100 euro en daarna moet je stoppen. Met deze strategie weet je zeker dat je geen negatieve payoff hebt. Immers, als de laatste medebieder afhaakt bij een bedrag lager dan honderd euro hoef je minder te betalen dan het schilderij je waard is (oftewel, je hebt een positieve payoff), en als dat niet het geval is stop je en heb je een payoff van 0 omdat je niet hebt gewonnen.

Private value producten zijn in de regel producten die je koopt voor eigen gebruik, en niet om door te verkopen. Als je producten wilt doorverkopen is het je vaak te doen om het geld dat je ermee verdient. De marktprijs van een product zorgt ervoor dat het dan eigenlijk weer een common value auction wordt.

Private value payoff maximaliseren

William Vickrey was in 1961 een van de eersten die veilingen wiskundig analyseerde. Hij onderzocht het model van een private value auction waar de waarde van het product voor de bieders een stochastische variabele is die een uniforme verdeling op het interval [0,1] volgt. Bij een ascending open auction was al duidelijk dat je eenvoudigweg uit moest stappen als het hoogste bod hoger was dan je eigen waarde v, maar hoe zit dat bij een first price sealed bid? Als het product voor jou de waarde v heeft en er zijn n>2 deelnemers aan de veiling, dan is volgens Vickrey de optimale strategie om \left(\frac{n-1}{n}\right)v te bieden. Dit is eenvoudig te controleren.

Laten we aannemen dat iedereen het bod B(x_i)=\left(\frac{n-1}{n}\right)x_i doet, waarbij x_i de waarde van het product voor speler i is. We moeten verifiëren dat jouw optimale bod in dit geval B(v)=\left(\frac{n-1}{n}\right)v is om vast te stellen dat dit een optimale strategie is. Neem aan dat je een bepaald bod b doet. Je biedt hoger dan een willekeurige andere speler i als

    \[ B(x_i)=\left(\frac{n-1}{n}\right)x_i < b,\]

of anders gesteld,

    \[ x_i < \left(\frac{n}{n-1}\right)b.\]

Omdat x_i uniform verdeeld is, is de kans dat je hoger biedt dan speler i gelijk aan \left(\frac{n}{n-1}\right)b. Om de veiling te winnen moet je hoger bieden dan alle andere n-1 spelers, dus de kans om te winnen w is

    \[ w(b) = \mathrm{Pr}\left[x_i<b\right]^{n-1} = \left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}b^{n-1}.\]

We willen onze verwachte payoff maximaliseren. Omdat je payoff 0 is als je de veiling niet wint, is je verwachte payoff U gelijk aan de kans dat je wint, vermenigvuldigd met je payoff als je wint, oftewel U(b)=w(b)\cdot P(b), waarbij P(b)=v-b, zoals eerder in dit artikel gedefinieerd. Als we de twee vergelijkingen samenvoegen krijgen we 

    \[U(b) = \left({n \over n-1}\right)^{n-1} b^{n-1}(v-b)= \left({n \over n-1}\right)^{n-1}(b^{n-1}v- b^n).\]

 Als we vervolgens de afgeleide van U naar b gelijkstellen aan 0 vinden we de waarde van b waarvoor de verwachte payoff gemaximaliseerd wordt:

    \begin{align*}\frac{\mathrm{d}U(b)}{\mathrm{d}b}&= \left({n\over n-1}\right)^{n-1}\left((n-1)b^{n-2}v-nb^{n-1}\right) \\ &=\left({n\over n-1}\right)^{n-1}b^{n-2} \left( ( n-1) v -nb\right)= 0. \end{align*}

Aangezien \left({n\over n-1}\right)^{n-1} en b^{n-2} altijd groter zijn dan 0 moet gelden dat (n-1)v-nb=0.

    \begin{align*} nb &= (n-1)v\\ b &= \left({n-1 \over n}\right) v \end{align*}

Hieruit volgt dat het voor iedere bieder in deze situatie optimaal is om deze strategie te volgen.

Conclusie

Sinds William Vickrey in 1961 voor het eerst veilingen wiskundig bestudeerde, wordt er binnen de speltheorie onderzoek gedaan naar de beste strategieën om veilingen te benaderen. Veilingen zijn een populaire manier om goederen of diensten te verhandelen, waardoor een goede strategie bij het bieden zeer belangrijk kan zijn. We hebben gezien dat bieders bij een first price sealed bid veiling gemakkelijk slachtoffer worden van de winner’s curse, waardoor de veiling alleen maar verlies oplevert voor de “winnaar”. Succes met bieden!


Dit artikel is geschreven door Arthur Molenaar

arthurmolenaar

Read more

The Infinite Monkey Paradox

The Infinite Monkey Paradox

To most people the notion of infinity is unfathomable. That has to do with the strange behavior some things demonstrate when the concept of infinity is introduced. Think for example of an infinite time horizon. No one knows what it feels like for an infinite amount of...