Kunst en wiskunde. Ze lijken te conflicteren: kunst houdt zich bezig met creatieve menselijke uitingen, terwijl wiskunde in feite pure logica is. Zelf heb ik het nooit verder geschopt dan het tekenen van bloemetjes en poppetjes op mijn grafische rekenmachine met behulp van parametervoorstellingen. Toch zijn er in de loop van de tijd veel wetenschappers geweest die kunst en wiskunde op een iets uitgebreidere manier met elkaar hebben weten te combineren.

Möbiusband

De Möbiusband, genoemd naar de Duitse wiskundige August Ferdinand Möbius, laat bijvoorbeeld zien op welke manier kunst wiskundig kan zijn. Het is een tweedimensionale topologische structuur. Toplogie is een tak van de wiskunde en gaat over eigenschappen van de ruimte die bewaard blijven bij continue vervorming. De Möbiusband bestaat uit een vlak, maar kan alleen in drie dimensies bestaan. Het is een zogenaamd ‘niet-oriënteerbaar oppervlak’. Op oriënteerbare oppervlakken kun je twee kanten aanwijzen, bij niet-oriënteerbare oppervlakken is dat niet mogelijk. Kijkende naar een Möbiusband zie je op elk punt twee zijden (en twee randen), maar als je vanuit een bepaald punt een zijde (of een rand) volgt, blijkt dat je ook op de ‘andere zijde ‘ terechtkomt. Je kunt heel makkelijk zelf een Möbiusband maken door de uiteinden van een strook papier op elkaar te lijmen, maar dan een slag gedraaid.

Fles van Klein

Er bestaat ook een driedimensionale versie van de Möbiusband, namelijk de fles van Klein. Dit doet al wat ‘kunstiger’ aan. Ook de fles van Klein is een voorbeeld van een niet-oriënteerbaar oppervlak: de fles heeft geen binnen- en buitenkant, omdat die geleidelijk in elkaar overlopen. De Klein-fles is vernoemd naar de Duitse wiskundige Felix Klein. Een fles van Klein in tweeën verdelen langs zijn symmetrievlak resulteert in twee Möbiusbanden die elkaars spiegelbeeld zijn. Ze zijn met elkaar verbonden door een normale band. Glasblazers kunnen de fles van glas maken, maar er zal dan wel altijd een gaatje in de wand zitten.

Fractals

Een ander wiskundig element dat veel gebruikt wordt in de kunst is een fractal. Een fractal is een meetkundig figuur dat opgebouwd is uit delen die gelijkvormig zijn met het figuur zelf. Met de ontwikkeling van de fractale wiskunde is het Droste-effect belangrijk geworden. Het Droste-effect is een visueel effect waarbij een afbeelding een verkleinde versie van zichzelf bevat. Het is dus een recursief proces, de constructie treedt op als onderdeel van zichzelf.

Een ander voorbeeld van toepassing van fractals is het Apolloniaans net. Een Apolloniaans net is een fractal opgebouwd uit drietallen cirkels. In elk drietal grenst elke cirkel aan de andere twee.  Een soortgelijke fractal is de driehoek van Sierpinski. Die wordt gemaakt door uit een gelijkzijdige driehoek de driehoek, gevormd door de middens van de drie zijden, te verwijderen. Dit process wordt oneindig herhaald in elk van de drie overgebleven driehoeken. Het tapijt van Sierpinski lijkt hierop, maar wordt gevormd door vierkanten in plaats van driehoeken.

Koos Verhoeff

Nog een mooi voorbeeld van toepassing van fractals in de kunst is de fractalboom. Het hier afgebeelde exemplaar is gemaakt door de Nederlandse wiskundige Koos Verhoeff. Hij is gebaseerd op de Pythagorasboom. Deze boom, bedacht door Albert E. Bosman, wordt gemaakt met behulp van een vierkante en een rechthoekige driehoek. Eén van de zijden van het vierkant is de schuine zijde van deze rechthoekige driehoek. Op de rechthoekszijden plaats je een vierkant, en op dat vierkant plaats je weer een rechthoekige driehoek met als schuine zijde een zijde van het vierkant. Als je lang genoeg doorgaat, ‘groeit’ er zo een boom. Verhoeff is een beeldend kunstenaar die zijn structuren baseert op geometrische principes. Hij legt zijn wiskundige principes in computerprogramma’s vast.

Escher

Koos Verhoeff werkte, al voordat hij zich met kunst bezig ging houden, bij het Centrum voor Wiskunde & Informatica in Amsterdam (dat toen nog het Mathematisch centrum heette). Daar ontmoette hij de persoon waardoor hij geïnteresseerd raakte in kunst, Maurits Cornelis Escher. Escher was een bekende Nederlandse kunstenaar die in zijn werken speelde met wiskunde. Veel van zijn gravures verbeelden onmogelijke constructies zoals de Penrose-trap. De Penrose trap is overigens niet bedacht door Escher zelf, maar door de Britse natuurkundige Roger Penrose. Escher gebruikte de trap bijvoorbeeld in zijn werk ‘Klimmen en Dalen’.

Escher deed ook veel met regelmatige vlakvulling.  Een regelmatige vlakvulling is een patroon dat ontstaat door een figuur zo te herhalen dat het hele vlak wordt opgevuld zonder dat de tegels elkaar overlappen. Het hele patroon kan door translatie (verschuiving) in twee richtingen zo verplaatst worden, dat het weer op zichzelf terecht komt. Dit principe gebruikte Escher veel in zijn kunstwerken.

Woodcut in black on wove paper

Rinus Roelofs

In 1998 werd een conferentie gehouden om te vieren dat Escher 100 jaar daarvoor geboren was, Escher Centennial celebrations. Eén van de artiesten wiens werk daar tentoongesteld werd was Rinus Roelofs, die zowel de studie toegepaste wiskunde als een kunstopleiding afgerond heeft. Roelofs is ook een kunstenaar die zich laat inspireren door wiskundige structuren. In 2011 betrapte Roelofs de geniale wetenschapper Leonardo da Vinci op een fout. In het boek Divina proportione, een werk over de wiskundige en de artistieke verhoudingen, tekende da Vinci een zogeheten romboëdrische kuboctaëder: een convex met 26 vlakken waarvan 8 regelmatige driehoeken en 18 vierkanten met 26  vlakken. Hierop tekende hij piramides. De onderste piramide had volgens Roelofs echter een driehoekig grondvlak moeten hebben in plaats van een vierkant grondvlak.

Nu rijst uiteindelijk de vraag, wat al deze wiskundige kunstenaars nu echt aan de wetenschap bijgedragen hebben. Wellicht hebben ze inderdaad niet de concrete resultaten bereikt die wij econometristen graag zien, maar ze hebben door hun werken ongetwijfeld mensen aan het denken gezet. Of simpelweg geamuseerd, zoals met mijn parametervoorstelling-bloemetjes.

Dit artikel is geschreven door Marieke Vollebregt en verscheen in GAXEX 3 van jaargang 36.

Marieke was actief als redacteur voor de GAXEX van maart 2013 tot maart 2014.